Question

【題目】已知函數圖象過點，且在該點處的切線與直線垂直．

（1）求實數，的值；

（2）對任意給定的正實數，曲線上是否存在兩點，，使得是以為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上？

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，理由見解析．

【解析】

試題分析：（1）首先求得導函數，然后根據導數的幾何意義得到關于的方程組，從而求解即可；（2）首先假設曲線上存在兩點，，使得是以為直角頂點的直角三角形，從而根據條件設出的坐標，然后根據向量垂直的充要條件建立方程，再根據方程解的情況構造新函數，從而通過求導研究新函數的單調性，進而得出結論．

試題解析：（1）當時，，則，

由題意知解得．

（2）假設曲線上存在兩點，，使得是以為直角頂點的直角三角形，則，只能在軸的兩側，不妨設（），則，且．

因為是以為直角頂點的直角三角形，所以，

即，（1）

是否存在點，等價于方程（1）是否有解，

若，則，代入方程（1）得：，此方程無實數解．

若，則，代入方程（1）得到，

設，則在上恒成立，

所以在上單調遞增，從而，

所以當時，方程有解，即方程（1）有解，

所以對任意給定的正實數，曲線上存在兩點，，使得是以為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上．