Question

10．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱長為a，E是棱DD₁的中點
（1）求三棱錐E-A₁B₁B的體積；
（2）在棱C₁D₁上是否存在一點F，使B₁F∥平面A₁BE？證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）代入棱錐的體積公式計算；
（2）取C₁D₁中點F，連B₁F，EF，C₁D，連B₁A交A₁B于O，則可證四邊形B₁OEF為平行四邊形，得出BF∥OE，從而得出B₁F∥平面A₁BE．

解答 解：（1）${V_{E-{A_1}{B_1}B}}=\frac{1}{3}{S_{△{A_1}{B_1}B}}h=\frac{a^3}{6}$．
（2）存在．
取C₁D₁中點F，連B₁F，EF，C₁D，連B₁A交A₁B于O，
∵EF是△D₁C₁D的中位線∴$EF∥CD，EH=\frac{1}{2}{C_1}D$，
因為正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁
所以${B_1}O=\frac{1}{2}{B_1}A$
又因為四邊形B₁ADC₁是平行四邊形，
所以B₁A∥C₁D，B₁A=C₁D
所以B₁O∥EF，B₁O=EF，
所以四邊形B₁OEF是平行四邊形，
所以B₁F∥OE，
所以B₁F∥平面A₁BE．

點評 本題考查了線面平行的判定，棱錐的體積計算，屬于中檔題．