Question

（文科）側棱長為3

3

的正三棱錐V-ABC中，∠AVB=∠BVC=∠CVA=40°，過點A作截面AEF，則截面AEF周長的最小值為

9

．

Answer 1

分析：沿著側棱VA把正三棱錐V-ABC展開在一個平面內，如圖，則AA′即為截面△AEF周長的最小值，且∠AVA′=3×40=120°．△VAA′中，由余弦定理可得 AA'的值．

解答：解：如圖所示：沿著側棱VA把正三棱錐V-ABC展開在一個平面內，如圖（2），
則AA′即為截面△AEF周長的最小值，且∠AVA′=3×40=120°．
△VAA′中，由余弦定理，得
 AA'=

VA2+(VA‘)2-2VA•VA′sin∠AVA′

=

27+27-2×3 3 ×3 3×cos120°

=9．
故答案為：9．

點評：本題主要考查余弦定理的應用，棱錐的結構特征，利用棱錐的側面展開圖研究幾條線段和的最小值問題，是一種重要的解題方法，屬于基礎題．