Question

已知實數a使得只有一個實數x滿足關于x的不等式|x²+2ax+3a|≤2，則滿足條件的所有的實數a的個數是________．

Answer 1

2
分析：將絕對值符號去掉，問題轉化為有且只有一個實數x使x²+2ax+3a≤2成立，利用相應二次函數可知函數y=x²+2ax+3a-2的圖象與x軸相切，從而使問題得解．
解答：因為|x²+2ax+3a|≤2，即-2≤x²+2ax+3a≤2．
又因為只有一個實數x滿足關于x的不等式|x²+2ax+3a|≤2，
所以有且只有一個實數x使x²+2ax+3a≤2成立．
即有且只有一個實數x使x²+2ax+3a-2≤0成立，∴可知函數y=x²+2ax+3a-2的圖象與x軸相切．
所以根的判別式=4a²-4（3a-2）=0，所以a²-3a+2=0
所以a=1或2，故滿足條件的實數a的個數是 2．
故答案為：2．
點評：本題的考點是一元二次不等式的應用，主要考查一元二次不等式的解法，考查三個二次之間的關系，有一定的綜合性．