Question

已知各項均為正數的數列{a_n}的前n項和S_n滿足S_n＞1，且6S_n＝(a_n＋1)(a_n＋2)＝1，n∈N

(Ⅰ)求｛a_n｝的通項公式；

(Ⅱ)設數列｛b_n｝滿足a_n(2ⁿ－1)＝1并記T_n為｛b_n｝的前n項和，求證：3T＋1＞log₂(a_n＋3)，n∈N．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)解：由，解得a1＝1或a1＝2，由假設a1＝S1＞1，因此a1＝2. 　　又由an+1＝Sn+1－Sn＝， 　　得an+1－an－3＝0或an+1＝－an 　　因an＞0，故an+1＝－an不成立，舍去. 　　因此an+1－an－3＝0.從而｛an｝是公差為3，首項為2的等差數列，故｛an｝的通項為an＝3n－2. 　　(Ⅱ)證法一：由可解得 　　； 　　從而. 　　因此. 　　令，則 　　. 　　因，故 　　. 　　特別的.從而， 　　即. 　　證法二：同證法一求得bn及Tn. 　　由二項式定理知當c＞0時，不等式 　　成立. 　　由此不等式有 　　 　　 　　＝. 　　證法三：同證法一求得bn及Tn. 　　令An＝，Bn＝，Cn＝. 　　因，因此. 　　從而 　　＞.