Question

（1）解不等式：log2(x+

1

x

+6)≤3；
（2）已知集合A={x|x²-3x+2=0}，B={x|0≤ax+1≤3}．若A∪B=B，求實數a的取值組成的集合．

Answer 1

分析：（1）利用函數y=log₂x在（0，+∞）的單調性和分式不等式的解法即可得出．
（2）利用一元二次方程和不等式的解法、集合的運算即可得出．

解答：解：（1）由log2(x+

1

x

+6)≤3得，log2(x+

1

x

+6)≤3=log28
∴0＜x+

1

x

+6≤8．
由x+

1

x

+6≤8化為

(x-1)2

x

≤0?x＜0或x=1．
由0＜x+

1

x

+6化為

x2+6x+1

x

＞0?x（x²+6x+1）＞0?

x＞0 x2+6x+1＞0

或

x＜0 x2+6x+1＜0

，解得x＞0或-3-2

2

＜x＜-3+2

2

．
從而得原不等式的解集為(-3-2

2

，-3+2

2

)∪{1}．
（2）法一：∵A={x|x²-3x+2=0}={1，2}，
又∵B={x|0≤ax+1≤3}={x|-1≤ax≤2}，
∵A∪B=B，∴A⊆B
①當a=0時，B=R，滿足題意．
②當a＞0時，B={x|-

1

a

≤x≤

2

a

}，
∵A⊆B∴

2

a

≥2，解得0＜a≤1．
③當a＜0時，B={x|

2

a

≤x≤-

1

a

}，
∵A⊆B∴-

1

a

≥2，解得-

1

2

≤a＜0．
綜上，實數a的取值組成的集合為[-

1

2

，1]．
法二：∵A∪B=B，∴A⊆B
又A={1，2}，∴

0≤a+1≤3 0≤2a+1≤3

，
∴

-1≤a≤2 - 1 2 ≤a≤1

，∴-

1

2

≤a≤1．
∴實數a的取值組成的集合為[-

1

2

，1]．

點評：本題考查了對數函數的單調性、分式不等式的解法、一元二次方程和不等式的解法、集合的運算、分類討論等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題．