Question

已知函數f(x)=x3+ax2+

3

2

x+

3

2

a（a為實數）
（I）若函數f（x）的圖象上有與x軸平行的切線，求a的取值范圍；
（II）若f（x）在x=-1時有極值，證明對任意的x₁，x₂∈（-1，0），不等式|f(x1)-f(x2)|＜

5

16

恒成立．

Answer 1

分析：（I）先求函數f(x)=x3+ax2+

3

2

x+

3

2

a的導函數，函數f（x）的圖象上有與x軸平行的切線，即導函數為零時有實數解，再令方程的判別式大于或等于零即可得a的范圍；
（II）先由f′（-1）=0求出a值，令導函數大于零，解不等式可得函數的增區間，令導函數小于零，解不等式可得函數的減區間，然后求函數f（x）在[-1，0]上的最大值和最小值，當這兩個值差的絕對值小于

5

16

，即可證得結論．

解答：解：∵f(x)=x3+ax2+

3

2

x+

3

2

a，∴f′(x)=3x2+2ax+

3

2

（I）∵函數f（x）的圖象有與x軸平行的切線，
∴f′（x）=0有實數解則△=4a2-4×3×

3

2

≥0，a2≥

9

2

，
所以a的取值范圍是(-∞，-

3

2

2

]∪[

3

2

2

，+∞)
（2）∵f′（-1）=0，∴3-2a+

3

2

=0，a=

9

4

，
∴f′(x)=3x2+

9

2

x+

3

2

=3(x+

1

2

)(x+1)
由f'（x）＞0得x＜-1或x＞-

1

2

；
由f′(x)＜0得-1＜x＜-

1

2

∴f（x）的單調遞增區間是(-∞，-1)，(-

1

2

，+∞)；
單調減區間為(-1，-

1

2

)
∴f（x）的最大值為f(-1)=

25

8

，
f（x）的極小值為f(-

1

2

)=

49

16

，又f(0)=

27

8

∴f（x）在[-1，0]上的最大值M=

27

8

，
最小值m=

49

16

∴對任意x₁，x₂∈（-1，0），
恒有|f(x1)-f(x2)|＜M-m=

27

8

-

49

16

=

5

16

點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及利用導數研究函數的單調性，同時考查了計算能力和轉化的思想，屬于中檔題．