Question

已知定義在閉區間[-3，3]上的兩個函數：g（x）=2x³+5x²+4x，f（x）在[-3，3]的值域為[-k-8，-k+120]，若對于任意x₁∈[-3，3]，總存在x∈[-3，3]使得g（x）=f（x₁）成立，求k的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：由g（x）=2x³+5x²+4x，知g′（x）=6x²+10x+4，令g′（x）=6x²+10x+4=0，得x=-1或x=-，列表討論得g（x）在閉區間[-3，3]上的值域為[-21，111]．由f（x）在[-3，3]的值域為[-k-8，-k+120]，若對于任意x₁∈[-3，3]，總存在x∈[-3，3]使得g（x）=f（x₁）成立，知，由此能求出k的取值范圍．
解答：解：∵g（x）=2x³+5x²+4x，
∴g′（x）=6x²+10x+4，
令g′（x）=6x²+10x+4=0，得x=-1或x=-，
列表討論：

x	-3	（-3，-1）	-1	（-1，-）	-	（-，3）	3
f′（x）	+	+	0	-	0	+	+
f（x）	↑	↑	極大值	↓	極小值	↑	↑

∵g（-3）=2×（-27）+5×9+4×（-3）=-21，
g（-1）=2×（-1）+5×1+4×（-1）=-1，
g（-）=2×（-）+5×+4×=-，
g（3）=2×27+5×9+4×3=111．
∴g（x）在閉區間[-3，3]上的值域為[-21，111]．
∵f（x）在[-3，3]的值域為[-k-8，-k+120]，
若對于任意x₁∈[-3，3]，總存在x∈[-3，3]使得g（x）=f（x₁）成立，
∴，
解得9≤k≤13．
故答案為：[9，13]．
點評：本題考查閉區間上函數最值的求法和應用，考查化歸與轉化思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．