Question

（2013•浙江模擬）設x為實數，[x]為不超過實數x的最大整數，記{x}=x-[x]，則{x}的取值范圍為[0，1），現定義無窮數列{a_n}如下：a₁={a}，當a_n≠0時，a_n+1={

1

an

}；當a_n=0時，a_n+1=0．當

1

3

＜a≤

1

2

時，對任意的自然數n都有a_n=a，則實數a的值為

2

-1

．

Answer 1

分析：根據已知條件：

1

3

＜a≤

1

2

，計算數列{a_n}的前幾項，結合對任意的自然數n都有a_n=a，從而得出關于a的方程．即可求出實數a的值．

解答：解：當

1

3

＜a≤

1

2

時，2≤a＜3．
a₁={a}=a，
a₂={

1

a

}=

1

a

-2，
∵當

1

3

＜a≤

1

2

時，對任意的自然數n都有a_n=a，
∴a=

1

a

-2，即a²+2a-1=0，
∴a=

2

-1或a=-

2

-1（不合2≤a＜3，舍去）
故答案為：

2

-1．

點評：本題考查的是取整函數，數列的函數特性．解答此題的關鍵是計算數列的前幾項，進而得到關于未知數的方程，利用方程思想求解．