Question

設f（x）是定義在R上的偶函數，且在[0，+∞）上是增函數，又f（1）=0，則滿足（x-1）f（lnx）＞0的x的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：畫出函數f（x）的單調性示意圖，故由（x-1）f（lnx）＞0 可得①

x＞1 f(lnx)＞0

或②

x＜1 f(lnx)＜0

．分別求得①、②的解集，再取并集，即得所求．

解答：解：由題意可得，函數f（x）的圖象關于y軸對稱，
f（x）在（-∞，0]上是減函數，且f（-1）=0．
函數f（x）的單調性示意圖如圖所示：
故由（x-1）f（lnx）＞0 可得，
①

x＞1 f(lnx)＞0

或 ②

x＜1 f(lnx)＜0

．
由①可得 

x＞1 lnx＞1 ，或lnx＜-1

，
解得 x＞e．
由②可得

x＜1 0＜lnx＜1 ，或-1＜lnx＜0

，
解得

1

e

＜x＜1．
綜上可得，（x-1）f（lnx）＞0的解集為(

1

e

，1)∪(e，+∞)，
故答案為：(

1

e

，1)∪(e，+∞)．

點評：本題主要考查求函數的單調性和奇偶性的應用，體現了轉化以及數形結合的數學思想，屬于中檔題．