Question

已知數(shù)列滿足（為常數(shù)，）
（１）當(dāng)時(shí)，求；
（２）當(dāng)時(shí)，求的值；
（3）問：使恒成立的常數(shù)是否存在？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

（1）；（2）；（3）存在

試題分析：（1）由，所以，.所以數(shù)列是一個(gè)等差數(shù)列.首項(xiàng)為2，公差為6，所以可求得通項(xiàng)公式.
（2）由，由于需要求的值，所以考慮數(shù)列的周期性，通過列舉即可得到數(shù)列的周期為6.從而可求得的值.
（3）假設(shè)存在常數(shù)使得恒成立.由，向前遞推一個(gè)式子，再利用將得到兩個(gè)關(guān)于的等式，從而消去一個(gè)即可得到，或．由于.所以只有.再結(jié)合已知即可得到結(jié)論.
試題解析：（1）
（2）　，，，
，，，，，，，，
，我們發(fā)現(xiàn)數(shù)列為一周期為６的數(shù)列．事實(shí)上，由有
，．……8分(理由和結(jié)論各2分)
因?yàn)椤?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824044154995749.png" style="vertical-align:middle;" />，所以．
（3）假設(shè)存在常數(shù)，使恒成立．
由　　　　　①，
及，有 ②
1式減2式得．
所以，或．
當(dāng)，時(shí)，數(shù)列｛｝為常數(shù)數(shù)列，不滿足要求．
由得，于是，即對于，都有，所以　，從而　．
所以存在常數(shù)，使恒成立．