Question

【題目】 已知函數f（x）=ax3+bx2的圖象經過點M（1，4），曲線在點M處的切線恰好與直線x+9y﹣3=0垂直．

（1）求實數a、b的值

（2）若函數f（x）在區間[m，m+1]上單調遞增，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或。

【解析】

(1)∵f(x)＝ax3＋bx2的圖象經過點M(1,4)，

∴a＋b＝4.①

f′(x)＝3ax2＋2bx，則f′(1)＝3a＋2b，

由條件f′(1)·(－)＝－1，即3a＋2b＝9，②

由①②式解得a＝1，b＝3.

(2)f(x)＝x3＋3x2，f′(x)＝3x2＋6x，令f′(x)＝3x2＋6x≥0得x≥0或x≤－2，

∴f(x)的單調遞增區間為(－∞，－2]和[0，＋∞)由條件知m≥0或m＋1≤－2，

∴m≥0或m≤－3.