Question

設(shè)A、B分別為雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左右頂點(diǎn)，雙曲線的實(shí)軸長為4

3

，焦點(diǎn)到漸近線的距離為

3

．
（1）求雙曲線的方程；
（2）已知直線y=

3

3

x-2與雙曲線的右支交于M、N兩點(diǎn)，且在雙曲線的右支上存在點(diǎn)D，使

OM

+

ON

=t

OD

，求t的值及點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

（1）由實(shí)軸長為4

3

，得a=2

3

，
漸近線方程為y=

b

2 3

x，即bx-2

3

y=0，
∵焦點(diǎn)到漸近線的距離為

3

，
∴

|bc|

b2+12

=

3

，又c²=b²+a²，∴b²=3，
∴雙曲線方程為：

x2

12

-

y2

3

=1；
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），D（x₀，y₀），則x₁+x₂=tx₀，y₁+y₂=ty₀，
由

y= 3 3 x-2 x2 12 - y2 3 =1

?x2-16

3

x+84=0?x1+x2=16

3

，
∴y₁+y₂=

3

3

(x1+x2)-4=12，
∴

x0 y0 = 4 3 3 x02 12 - y02 3 =1

，解得

x0=4 3 y0=3

，∴t=4，
∴D(4

3

，3)，t=4．