Question

設向量

a

=（2，sinθ），

b

=(1，cosθ)，θ為銳角．
（1）若

a

∥

b

，求tanθ的值；
（2）若

a

•

b

=

13

6

，求sinθ+cosθ的值．

Answer 1

分析：（1）根據向量平行的坐標表示式，結合題中數據建立關于θ的關系式，用同角三角函數基本關系化簡即可得到tanθ=2．
（2）根據向量數量積的公式可得2+sinθcosθ=

13

6

，解出sinθcosθ=

1

6

．結合同角三角函數的平方關系，算出（sinθ+cosθ）²=

4

3

，將兩邊開方并且注意到θ為銳角，即可得到sinθ+cosθ=

2 3

3

（舍負）．

解答：解：（1）∵

a

=（2，sinθ），

b

=(1，cosθ)，且

a

∥

b

，…（2分）
∴2cosθ-sinθ=0，可得tanθ=2．                      …（5分）
（2）∵

a

•

b

=

13

6

，
∴2+sinθcosθ=

13

6

，化簡得sinθcosθ=

1

6

．         …（8分）
因此，（sinθ+cosθ）²=1+2 sinθcosθ=

4

3

．                  …（10分）
又∵θ為銳角，可得sinθ+cosθ是正數
∴sinθ+cosθ=

2 3

3

（舍負）．               …（12分）

點評：本題給出向量含有三角函數的坐標形式，在滿足

a

、

b

平行的情況和

a

•

b

=

13

6

的情況下，求tanθ和sinθ+cosθ的值．著重考查了平面向量平行的坐標表示式、向量數量積的坐標公式和同角三角函數關系等知識，屬于中檔題．