Question

己知：函數f（x）=x³+ax²+bx+c，在（-∝，-1），（2，+∝）上單凋遞增，在（一1，2）上單調遞減，不等式f（x）＞x²-4x+5的解集為（4，+∝）．
（I）求函數f（x）的解析式；
（II）若函數h（x）=，求h（x）的單調區間．

Answer 1

【答案】分析：（I）先根據函數的單調性可知f'（x）=3x²+2ax+b=0有兩個根-1，2，求出a和b，然后根據不等式f（x）＞x²-4x+5的解集為（4，+∝）求出c，從而求出函數f（x）的解析式；
（II）先求出函數h（x）的解析式，然后討論m的取值范圍，根據導函數的符號與函數單調性的關系求出相應的單調區間，從而求出所求．
解答：解：（Ⅰ）在（-∝，-1），（2，+∝）上單凋遞增，在（一1，2）上單調遞減，
∴f'（x）=3x²+2ax+b=0有兩個根-1，2
利用根與系數的關系可知a=，b=-6
∴f（x）=x³x²-6x+c，
∵不等式f（x）＞x²-4x+5的解集為（4，+∝）．
∴c=-11
∴f（x）=x³x²-6x-11，
 （Ⅱ）f'（x）=3x²-3x-6=3（x+1）（x-2），
∴h（x）==（x+1）-（m+1）ln（x+m）（x＞-m且，x≠2）
 當m≤-2時，-m≥2，定義域：（-m，+∞），
 h'（x）＞0恒成立，h（x）在（-m，+∞）上單增；   
 當-2＜m≤-1時，定義域：（-m，2）∪（2，+∞）
  h'（x）恒成立，h（x）在（-m，2）與（2，+∞）上單增；
 當m＞-1時，-m＜1，定義域：（-m，2）∪（2，+∞）
 由 h'（x）＞0得x＞1，由h'（x）＜0 得x＜1．
  故在（1，2），（2，+∞）上單增；在（-m，1）上單減，
綜上所述，當m≤-2時，h（x）在（-m，+∞）上單增；
當-2＜m≤-1時，h（x）在（-m，2）與（2，+∞）上單增；
當m＞-1時，在（1，2），（2，+∞）上單增；在（-m，1）單減．
點評：本題主要考查了函數的單調性與導數的關系，函數與方程的綜合運用，是一道綜合題，同時考查了計算能力，轉化與劃歸的思想，屬于中檔題．