Question

四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是正三角形，底面四邊形ABCD是菱形，∠DAB=60°，E為PC中點，F是線段DE上任意一點．
（1）求證：AD⊥PB；
（2）若點M為AB的中點，N為DC的中點，求證：平面EMN∥平面PAD；
（3）設P，A，F三點確定的平面為a，平面a與平面DEB的交線為l，試判斷直線PA與l的位置關系，并證明之．

Answer 1

分析：（1）令G為AD邊的中點，連接PG，BG，根據等腰三角形三線合一，可得BG⊥AD，同理可證BG⊥AD，再由線面垂直的判定定理證明AD⊥平面PGB，然后證明AD⊥PB．
（2）連接EM，EN，利用中線位定理，分別證得EN∥PD，MN∥AD，進而由線面平面的判定定理證得EN∥平面PAD，MN∥平面PAD，再由面面平行的判定定理證得答案．
（3）連接AC交BD于O，連接EO，由三角形中位線定理可得EO∥PA，進而由線面平行的判定定理得到PA∥平面DEB，再由線面平行的性質定理得到結論．

解答：證明：（1）令G為AD邊的中點，連接PG，BG
在底面菱形ABCD中，∠DAB=60°，
∴△ABD為正三角形
∴BG⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
又∵△PAD為正三角形，G為AD邊的中點，
∴PG⊥AD，
∵PG?平面PGB，BG?平面PGB，PG∩BG=G，
∴AD⊥平面PGB，
∵PB?平面PGB．
∴AD⊥PB．
（2）連接EM，EN
在△PCD中，
∵E，N分別為PC，CD的中點
∴EN∥PD
又∵EN?平面PAD，PD?平面PAD
∴EN∥平面PAD
在菱形ABCD中，點M為AB的中點，N為DC的中點，
∴MN∥AD
又∵MN?平面PAD，AD?平面PAD
∴MN∥平面PAD
又∵EN，MN?平面EMN且EN∩MN=N
∴平面EMN∥平面PAD
（3）直線PA與l平行，理由如下：
連接AC交BD于O，連接EO
根據菱形的對角線互相平分可得O為AC的中點，
又∵E為PC中點
∴EO∥PA
∵PA?平面DEB，EO?平面DEB
∴PA∥平面DEB
又∵PA?α，α∩平面DEB=l
∴PA∥l

點評：本題考查直線與平面垂直，平面與平面平行，直線與直線平行，直線與平面的證明，考查空間想象能力，邏輯推理能力．