Question

已知橢圓的右焦點為，設左頂點為A，上頂點為B且，如圖．

（1）求橢圓的方程；

（2）若，過的直線交橢圓于兩點，試確定的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）橢圓的方程為；（2）的取值范圍為．

【解析】

試題分析：（1）首先寫出，，，由及向量數量積的坐標運算，可得方程，又由橢圓中關系得，解這個方程組得的值，從而得橢圓的標準方程；（2）先考慮直線斜率不存在的情況，，此時，，＝；若直線斜率存在，設，代入橢圓方程消去得關于的一元二次方程，利用韋達定理，把表示成斜率的函數，求此函數的值域，即得的取值范圍．

試題解析：（1）由已知，，，，則由得：．

∵，∴，解得，∴，∴橢圓． 4分

（2）①若直線斜率不存在，則，此時，，＝；

②若直線斜率存在，設，，則由消去得：，∴，，∴

＝．∵，∴，∴，∴．

綜上，的取值范圍為． 13分

考點：1．橢圓的標準非常及其幾何性質；2．直線和橢圓的位置關系；3．利用向量的數量積運算解決橢圓中的取值范圍問題．