Question

（2007•湛江二模）煙囪向其周圍地區(qū)散落煙塵造成環(huán)境污染．已知A、B兩座煙囪相距20km，其中B煙囪噴出的煙塵量是A煙囪的8倍，經(jīng)環(huán)境檢測表明：落在地面某處的煙塵濃度與該處到煙囪距離的平方成反比，而與煙囪噴出的煙塵量成正比．（比例系數(shù)為k）．若C是AB連線上的點(diǎn)，設(shè)AC=x km，C點(diǎn)的煙塵濃度記為y．
（Ⅰ）寫出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；
（Ⅱ）是否存在這樣的點(diǎn)C，使該點(diǎn)的煙塵濃度最低？若存在，求出AC的距離；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)A煙囪噴出的煙塵量為1，則B煙囪噴出的煙塵量為8，由AC=x，（0＜x＜20），可得BC=20-x；
依題意，點(diǎn)C處的煙塵濃度y的函數(shù)表達(dá)式為：y=

k

x2

+

k•8

(20-x)2

，（0＜x＜20）
（Ⅱ）對（Ⅰ）中的函數(shù)表達(dá)式求導(dǎo)，利用單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系求最值即可．

解答：解：（Ⅰ）不妨設(shè)A煙囪噴出的煙塵量為1，則B煙囪噴出的煙塵量為8，由AC=x，（0＜x＜20），可得BC=20-x；…（3分）
依題意，點(diǎn)C處的煙塵濃度y的函數(shù)表達(dá)式為：y=

k

x2

+

k•8

(20-x)2

，（0＜x＜20）…（6分）
（Ⅱ）對（Ⅰ）中的函數(shù)表達(dá)式求導(dǎo)得y′=-

2k

x3

+

16k

(20-x)3

=

2k(9x3-60x2+1200x-8000)

x3(20-x)3

；…（9分）
令y'=0，得（3x-20）•（3x²+400）=0；
又0＜x＜20，∴x=

20

3

．…（12分）
∵當(dāng)x∈(0 ， 

20

3

)時，y'＜0；當(dāng)x∈(

20

3

 ， 20)時，y'＞0，
∴當(dāng)x=

20

3

時，y取最小值．
故存在點(diǎn)C，當(dāng)AC=

20

3

km時，該點(diǎn)的煙塵濃度最低．…（14分）

點(diǎn)評：本題以環(huán)保為素材，考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查根據(jù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值的問題．屬中檔題