Question

已知拋物線C：y²=2px（p＞0）上任意一點到焦點F的距離比到y軸的距離大1，
（1）求拋物線C的方程；
（2）若過焦點F的直線交拋物線于M，N兩點，M在第一象限，且|MF|=2|NF|，求直線MN的方程；
（3）過點的直線交拋物線C：y²=2px（p＞0）于P、Q兩點，設點P關于x軸的對稱點為R，求證：直線RQ必過定點．

Answer 1

解：（1）設P（x₀，y₀）為拋物線C：y²=2px（p＞0）上一點，
作PH⊥y軸，垂足為H，連接PF，
∵|PF|=|PH|+1，
∴，
∴p=2，
∴所求拋物線C的方程為y²=4x．
（2）直線RQ必過定點．由（1）得焦點坐標為F（1，0），
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN：y=k（x-1）（k＞0），
與y²=4x聯立，得
ky²-4y-4k=0，
∴，y₁y₂=-4，
由|MF|=2|NF|，
則y₁=-2y₂，∴，
因此所求的直線方程為．
（3）∵A（-1，0），設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
PQ：y=k（x+1），與y²=4x聯立得ky²-4y+4k=0，
∴，
∵點P關于x軸的對稱點是R，則R（x₁，-y₁），
∴直線RQ的直線為，
即有，
∴（y₂-y₁）（y+y₁）=4x-4x₁，
∴（y₂-y₁）y+y₂y₁-y₁²=4x-4x₁，
∵（y₂-y₁）y=4（x-1），
∴直線RQ必過定點F（1，0）．
分析：（1）設P（x₀，y₀）為拋物線C：y²=2px（p＞0）上一點，作PH⊥y軸，垂足為H，連接PF，由|PF|=|PH|+1，知，由此能求出所求拋物線C的方程．
（2）直線RQ必過定點．由F（1，0），設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN：y=k（x-1）（k＞0），與y²=4x聯立，得ky²-4y-4k=0，由|MF|=2|NF|，能求出所求的直線方程．
（3）由A（-1，0），設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ：y=k（x+1），與y²=4x聯立得ky²-4y+4k=0，故，由點P關于x軸的對稱點是R，知直線RQ的直線為，由此能夠證明直線RQ必過定點．
點評：本題主要考查橢圓標準方程，簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系，圓的簡單性質等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．