Question

（2013•揭陽一模）如圖，設點F₁（-c，0）、F₂（c，0）分別是橢圓C：

x2

a2

+y2=1(a＞1)的左、右焦點，P為橢圓C上任意一點，且

PF1

•

PF2

最小值為0．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若動直線l₁，l₂均與橢圓C相切，且l₁∥l₂，試探究在x軸上是否存在定點B，點B到l₁，l₂的距離之積恒為1？若存在，請求出點B坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設P（x，y），可得向量

F1P

、

F2P

坐標關于x、y的形式，從而得到

PF1

•

PF2

=x2+y2-c2，結合點P為橢圓C上的點，化簡得

PF1

•

PF2

=

a2-1

a2

x2+1-c2，說明

PF1

•

PF2

最小值為1-c²=0，從而解出a²=2且b²=1，得到橢圓C的方程．
（2）當直線l₁，l₂斜率存在時，設它們的方程為y=kx+m與y=kx+n，與橢圓方程聯解并利用根的判別式列式，化簡得m²=1+2k²且n²=1+2k²，從而得到m=-n．再假設x軸上存在B（t，0），使點B到直線l₁，l₂的距離之積為1，由點到直線的距離公式列式，并化簡去絕對值整理得k²（t²-3）=2或k²（t²-1）=0，再經討論可得t=±1，得B（1，0）或B（-1，0）．最后檢驗當直線l₁，l₂斜率不存在時，（1，0）或（-1，0）到直線l₁，l₂的距離之積與等于1，從而得到存在點B（1，0）或B（-1，0），滿足點B到l₁，l₂的距離之積恒為1．

解答：解：（1）設P（x，y），則有

F1P

=(x+c，y)，

F2P

=(x-c，y)-------------（1分）
∴

PF1

•

PF2

=x2+y2-c2
∵點P在橢圓C上，可得

x2

a2

+y2=1，可得y²=

a2-1

a2

x²，
∴

PF1

•

PF2

=

a2-1

a2

x2+1-c2，x∈[-a，a]-------------（2分）
因此，

PF1

•

PF2

最小值為1-c²=0，解之得c=1，可得a²=2，-------------------（3分）
∴橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1．---------------------------------------------（4分）
（2）①當直線l₁，l₂斜率存在時，設其方程為y=kx+m，y=kx+n--------------------（5分）
把l₁的方程代入橢圓方程，得（1+2k²）x²+4mkx+2m²-2=0
∵直線l₁與橢圓C相切，
∴△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-2）=0，化簡得m²=1+2k²----------------------------（7分）
同理可得n²=1+2k²------------------------------------------------------------（8分）
∴m²=n²，而若m=n則l₁，l₂重合，不合題意，因此m=-n-----------------------（9分）
設在x軸上存在點B（t，0），點B到直線l₁，l₂的距離之積為1，
則

|kt+m|

k2+1

•

|kt-m|

k2+1

=1，即|k²t²-m²|=k²+1，---------------------------------（10分）
把1+2k²=m²代入，并去絕對值整理，可得k²（t²-3）=2或k²（t²-1）=0，而前式顯然不能恒成立；
因而要使得后式對任意的k∈R恒成立
必須t²-1=0，解之得t=±1，得B（1，0）或B（-1，0）；----------------------------（12分）
②當直線l₁，l₂斜率不存在時，其方程為x=

2

和x=-

2

，---------------------------（13分）
定點（-1，0）到直線l₁，l₂的距離之積為(

2

-1)(

2

+1)=1；定點（1，0）到直線l₁，l₂的距離之積為(

2

+1)(

2

-1)=1，也符合題意．
綜上所述，滿足題意的定點B為（-1，0）或（1，0）--------------------------------------------（14分）

點評：本題給出橢圓上一點P，在

PF1

•

PF2

最小值為0的情況下求橢圓的方程，并討論x軸上存在定點B到l₁，l₂的距離之積恒為1的問題，著重考查了橢圓的標準方程與簡單幾何性質、點到直線的距離公式、向量數量積運算和直線與圓錐曲線的位置關系等知識點，屬于中檔題．