Question

設函數y=f（x）是定義在（0，+∞）上的減函數，并且滿足f（xy）=f（x）+f（y），f(

1

3

)=1．
（1）求f（1）的值；
（2）若存在實數m，使得f（m）=2，求m的值；
（3）如果f（x）+f（2-x）＜2，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）對于任意的x，y∈（0，+∞），f（x•y）=f（x）+f（y），令x=y=1，即可求得f（1）的值；
（2）根據題意，f(

1

3

)=1，令x=y=

1

3

，f（xy）=f（x）+f（y）=2；有可求得m的值；
（3）f（x）+f（2-x）=f[x（2-x）]，根據函數的單調性把函數值不等式轉化為自變量不等式，解不等式即可求得結果．

解答：解：（1）令x=y=1，則f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0
（2）∵f(

1

3

)=1，
∴f(

1

9

)=f(

1

3

×

1

3

)=f(

1

3

)+f(

1

3

)=2
∴m=

1

9

（3）∴f（x）+f（2-x）=f[x（2-x）]＜f(

1

9

)，
又由y=f（x）是定義在R⁺上的減函數，得：

x(2-x)＞ 1 9 x＞0 2-x＞0

解之得：x∈(1-

2 2

3

，1+

2 2

3

)．

點評：考查函數的單調性，及根據函數的單調性轉化不等式，求抽象函數的有關命題，常采用賦值法求解，體現了轉化的思想方法，屬中檔題．