Question

已知數列{a_n}滿足a₁=a(a≠0，且a≠1)，其前n項和S_n=(1-a_n).

(Ⅰ)求證：{a_n}為等比數列；

(Ⅱ)記b_n=a_nlg(n∈ N^*)，T_n為數列{b_n}的前n項和.

(i)當a=2時，求；

(ii)當a=-時，是否存在正整數m，使得對于任意正整數n都有b_n≥b_m?如果存在，求出m的值；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

證明：(Ⅰ)當n≥2時，

a_n=S_n-S_n-1=(1-a_n)-(1-a_n-1)，

整理得=a，所以{a_n}是公比為a的等比數列，

又a₁=a，所以a_n=aⁿ. 

(Ⅱ)因為a_n=aⁿ,b_n=aⁿlg|a_n|=aⁿlg|aⁿ|=naⁿlg|a|，

(i)當a=2時，T_n=(2+2·2²+…+n·2ⁿ)1g2， 

2T_n=[2²+2·2³+…+(n-1)·2ⁿ+n·2ⁿ⁺¹]lg2， 

兩式相減整理得T_n=2[1-(1-n)·2ⁿ]lg2. 

所以，

(ii)因為-1＜a＜0，

所以，當n為偶數時，b_n=naⁿlg|a|＜0；

當n為奇數時，b_n=naⁿlg|a|＞0.

所以，如果存在滿足條件的正整數m，則m一定是偶數.

b_2k+2-b_2k=2a^2k(a²-1)(k-)lg|a|，(k∈N^*)，

當a=-時，a²-1=-，所以2a^2k(a²-1)lg|a|＞0.

又

所以，當k＞時，b_2k+2＞b_2k，即b₈＜b₁₀＜b₁₂＜…，

當＜時，b_2k+2＜b_2k，即b₈＜b₆＜b₄＜b₂，

即存在正整數m=8，使得對于任意正整數n都有b_n≥b₈.