Question

在直角坐標系中，△ABC的兩個頂點A，B坐標分別為A（-1，0），B（1，0），平面內兩點G、M同時滿足下列條件：(1)

GA

+

GB

+

GC

=

0

，（2）MA=MB=MC，(3)

GM

∥

AB

則△ABC的另一個頂點C的軌跡方程為

x2+

y2

3

=1(y≠0)

．

Answer 1

分析：根據MA=MB，可得M在線段AB的中垂線上，從而可得M的坐標，利用

GA

+

GB

+

GC

=

0

可得重心坐標與C坐標之間的關系，利用MB=MC，即可得到定點C的軌跡方程．

解答：解：（1）設C（x，y），G（x₀，y₀），M（x_m，y_m）
∵MA=MB，∴M在線段AB的中垂線上，
∵A（-1，0），B（1，0），∴x_m=0
∵

GM

∥

AB

，∴y_m=y₀…．
∵

GA

+

GB

+

GC

=

0

，∴（-1-x₀，-y₀）+（1-x₀，-y₀）+（x-x₀，y-y₀）=（0，0）
∴x₀=

x

3

，y₀=

y

3

，y_m=

y

3

∵MB=MC，
∴

(1-0)2+(0- y 3 )2

=

(x-0)2+(y- y 3 )2

，
即x2+

y2

3

=1(y≠0)
∴定點C的軌跡方程為x2+

y2

3

=1(y≠0)
故答案為：x2+

y2

3

=1(y≠0)

點評：本題考查向量知識的運用，考查曲線的軌跡方程，考查學生的計算能力，屬于中檔題．