Question

已知數列是以d為公差的等差數列，數列是以q為公比的等比數列．
（1）若數列的前n項和為S_n，且a₁=b₁=d=2，S₃＜a₁₀₀₄+5b₂-2012，求整數q的值；
（2）在（1）的條件下，試問數列中是否存在一項b_k，使得b_k恰好可以表示為該數列中連續p（p∈N，p≥2）項的和？請說明理由；
（3）若b₁=a_r，b₂=a_s≠a_r，b₃=a_t（其中t＞s＞r，且（s-r）是（t-r）的約數），求證：數列中每一項都是數列中的項．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意知，，所以由S₃＜a₁₀₀₄+5b₂-2012，能求出整數q的值．
（2）假設數列{b_n}中存在一項b_k，滿足b_k=b_m+b_m+1+b_m+2+…+b_m+p-1，由，得到k≥m+p，另由b_k＞b_m+p-1，得到k＜m+p，矛盾．所以，這要的項b_k不存在．
（3）由b₁=a_r，得b₂=b₁q=a_rq=a_s=a_r+（s-r）d，則，由此推導出b_i一定是數列的項．
解答：解：（1）由題意知，，
所以由S₃＜a₁₀₀₄+5b₂-2012，，…（3分）．解得1＜q＜3，
又q為整數，所以q=2．…（5分）
（2）假設數列{b_n}中存在一項b_k，滿足b_k=b_m+b_m+1+b_m+2+…+b_m+p-1，
因為，
∴（*）…（8分）
又
=2^m+p-2^m＜2^m+p，所以k＜m+p，此與（*）式矛盾．
所以，這要的項b_k不存在…（11分）
（3）由b₁=a_r，得b₂=b₁q=a_rq=a_s=a_r+（s-r）d，
則…（12分）
又，
從而，
因為a_s≠a_r⇒b₁≠b₂，所以q≠1，a_r≠0，
故．又t＞s＞r，且（s-r）是（t-r）的約數，
所以q是整數，且q≥2…（14分）
對于數列中任一項b_i（這里只要討論i＞3的情形），
有==，
由于（s-r）（1+q+q²+…+q^i-2）+1是正整數，
所以b_i一定是數列的項…（16分）
點評：本題考查等差數列與等比數列的綜合應用，解題時要認真審題，注意等價轉化思想、分類討論思想的合理運用．