Question

已知橢圓的右焦點為F，上頂點為A，P為C₁上任一點，MN是圓C_2：x²+（y-3）²=1的一條直徑，若與AF平行且在y軸上的截距為的直線l恰好與圓C₂相切．
（Ⅰ）已知橢圓C₁的離心率；
（Ⅱ）若的最大值為49，求橢圓C₁的方程．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意可知直線l的方程為，
因為直線與圓c₂：x²+（y-3）²=1相切，所以，即a²=2c²，
從而；（6分）
（Ⅱ）設P（x，y）、圓C₂的圓心記為C₂，則（c＞0），又=x²+（3-y）²-1=-（y+3）²+2c²+17（-c≤y≤c）．（8分）
j當，解得c=4，此時橢圓方程為；
k當0＜c＜3時，
解得c=5但，故舍去．
綜上所述，橢圓的方程為．（14分）
分析：（Ⅰ先得出直線l的方程，再由直線與圓相切得a²=2c²，從而求得離心率；
（II）設P（x，y）由的最大值為49，求得c的值，從而求得橢圓方程．
點評：本題主要考查直線、圓、橢圓的基本性質及位置關系的應用，滲透向量、函數最值等問題，培養學生綜合運用知識的能力．