Question

對于正整數a，b，存在唯一一對整數q和r，使得，.特別地，當時，稱b能整除a，記作，已知
（1）存在，使得，試求，的值；
（2）求證：不存在這樣的函數，使得對任意的整數，若，則；
（3）若，(指集合B中的元素的個數)，且存在，則稱為“和諧集”，.求最大的，使含m的集合A的有12個元素的任意子集為“和諧集”，并說明理由．

Answer 1

解：(1)因為，
所以.                  
 (2)證明：假設存在這樣的函數，使得對任意的整數，
若，則.  
設，
由已知，由于，
所以.
不妨令，這里，且，
同理，，且，
因為只有三個元素，
所以.即，
但是，與已知矛盾.
因此假設不成立，即不存在這樣的函數，使得對任意的整數，
若，則.                                    
(3)當時，記，，
記,則，
顯然對任意，不存在，使得成立.
故是非“和諧集”，此時.
同樣的，當時，存在含的集合的有12個元素的子集為非“和諧集”.      
因此m≤7
下面證明：含7的任意集合的有12個元素的子集為“和諧集”.
設，若中之一為集合的元素，
顯然為”.現考慮都不屬于集合，構造集合，，，，，.
以上每個集合中的元素都是倍數關系.
考慮的情況，也即中5個元素全都是的元素，中剩下6個元素必須從這5個集合中選取6個元素，那么至少有一個集合有兩個元素被選，
即集合中至少有兩個元素存在倍數關系.
綜上所述，含7的任意集合的有12個元素的子集為”，即的最大值為7.