Question

14．如圖，函數y=log₂4x圖象上的兩點A，B和y=log₂x上的點C，線段AC平行于y軸，三角形ABC為正三角形時，點B的坐標為（p，q），則p²×2^q=（　　）

• A． 12
• B． $12\sqrt{3}$
• C． 6
• D． $6\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根據題意，設出A、B、C的坐標，由線段AC∥y軸，△ABC是等邊三角形，得出AB、AC與BC的關系，求出p、q的值，計算出結果．

解答 解：根據題意，設A（x₀，2+log₂x₀），B（p，q），C（x₀，log₂x₀），
∵線段AC∥y軸，△ABC是等邊三角形，
∴AC=2，2+log₂p=q，
∴p=2^q-2，∴4p=2^q；
又x₀-p=$\sqrt{3}$，∴p=x₀-$\sqrt{3}$，
∴x₀=p+$\sqrt{3}$；
又2+log₂x₀-q=1，
∴log₂x₀=q-1，x₀=2^q-1；
∴p+$\sqrt{3}$=2^q-1；2p+2$\sqrt{3}$=2^q=4p，
∴p=$\sqrt{3}$，
∴p²×2^q=3×$4\sqrt{3}$=12$\sqrt{3}$．
故選B．

點評 本題考查了指數函數與對數函數的圖象與性質的應用問題，也考查了指數，對數的運算問題，屬于中檔題．