Question

已知函數.

(Ⅰ)討論的單調性；

（Ⅱ）設.當時，若對任意，

存在，使，求實數的最小值

 

Answer 1

【答案】

 

(Ⅰ) 當時，函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為；

當時，函數單調遞增區間為和，單調遞減區間

（Ⅱ）4

【解析】解：(Ⅰ)由題，函數的定義域為

    

（1）若，則，

從而當時，；當時，，

此時函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為；------------3分

（2）若，則，

①當時，因為，從而當或時，；當時，，

此時函數的單調遞增區間為和，單調遞減區間為；

②當時，，

函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為；

綜上所述，當時，函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為；

當時，函數單調遞增區間為和，單調遞減區間8分

（Ⅱ）由(Ⅰ)可得當時，函數在區間上單調遞增，在上單調遞減，

所以在區間上，，

由題，對任意，存在，使，

從而存在，使，

即只需函數在區間上的最小值大于，

又當時， 時，，不符

所以在區間上，解得，

所以實數的最小值為4.                    -------------15分