Question

【題目】在銳角△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C所對邊的邊長，且滿足a－2bsin A＝0.

(1)求角B的大小；

(2)若a＋c＝5，且a>c，b＝，求·的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）1

【解析】

分析：（1）利用正弦定理化邊為角，從而得sinB的值；（2）由b及cosB的值，利用余弦定理列出關于a與c的關系式，利用完全平方公式變形后，將a+c的值代入，求出ac的值，將a+c=5與ac=6聯立，并根據a大于c，求出a與c的值，再由a，b及c的值，利用余弦定理求出cosA的值，然后將所求的式子利用平面向量的數量積運算法則化簡后，將b，c及cosA的值代入即可求出值．

詳解：（Ⅰ）∵a﹣2bsinA=0，

∴sinA﹣2sinBsinA=0，

∵sinA≠0，∴sinB=，

又B為銳角，則B=；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知B=，又b=，

根據余弦定理，得b2=7=a2+c2﹣2accos，

整理得：（a+c）2﹣3ac=7，

∵a+c=5，∴ac=6，

又a＞c，可得a=3，c=2，

∴cosA===，

則=||||cosA=cbcosA=2××=1．