Question

（2012•成都模擬）三棱錐P-ABC內接于球O，如果PA、PB、PC兩兩垂直且PA=PB=PC=a，則球心O到平面ABC的距離是

3

6

a

．

Answer 1

分析：由題意可知三棱錐P-ABC是正方體的一個角，擴展為正方體，兩者的外接球是同一個球，求出球的半徑，減去頂點P到平面ABC的距離，即可求出球心O到平面ABC的距離．

解答：解：空間四個點P、A、B、C在同一球面上，PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=PB=PC=a，
則PA、PB、PC可看作是正方體的一個頂點發出的三條棱，
所以過空間四個點P、A、B、C的球面即為棱長為a的正方體的外接球，
球的直徑即是正方體的對角線，長為

3

a，
所以這個球面的半徑

1

2

3

a，
球心O到平面ABC的距離為體對角線的

1

6

，
即球心O到平面ABC的距離為

3

6

a．
故答案為：

3

6

a．

點評：本題是中檔題，考查球的內接體知識，球的表面積的求法，考查空間想象能力，計算能力，分析出正方體的對角線就是球的直徑是解好本題的關鍵所在．