Question

函數f（x）=ax³+（a-1）x²+（b-3）x+b的圖象關于原點成中心對稱，則f（x）（　　）

A．有極大值和極小值

B．有極大值無極小值

C．無極大值有極小值

D．無極大值無極小值

Answer 1

分析：由f（x）的圖象關于原點成中心對稱，知f（x）是奇函數，得a、b的值；利用導數判定f（x）在其定義域上的增減情況．

解答：解：∵函數f（x）=ax³+（a-1）x²+（b-3）x+b的圖象關于原點成中心對稱，∴f（x）是奇函數；
∴

a-1=0 b=0

，即

a=1 b=0

，∴f（x）=x³-3x（其中x∈R）；
∴f′（x）=3x²-1，令f′（x）=0，得x=±

3

3

，
∴f（x）、f′（x）隨x的變化情況如下表：

∴f（x）在定義域上有極大值和極小值．
故選：A．

點評：本題考查了利用函數的導數來判定函數的增減性，求函數極值的知識，是中檔題．