Question

【題目】已知函數.

（1）若函數在R上是增函數，求實數a的取值范圍；

（2）求所有的實數a，使得對任意時，函數的圖象恒在函數圖象的下方；

（3）若存在，使得關于x的方程有三個不相等的實數根，求實數t的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）將函數寫成分段函數的性質，根據分段函數在上是單調增函數，即可求得參數的范圍；

（2）根據題意，分離參數，將問題轉化求解函數在區間上最值的問題，即可求得；

（3）將方程根的個數的問題，轉化為函數圖像交點個數的問題，求出函數的值域，結合函數的單調性即可求得.

（1）∵函數.

由于在R上是連續的增函數，

所以只要當時為增函數且當時也為增函數；

即，解得，則a的范圍為.

（2）由題意得對任意的實數，恒成立，

即，當恒成立，

即，

∴，

∴，

故且在上恒成立，

即在時，只要的最大值且的最小值即可，

而當時，為增函數，；

當時，為增函數，，

∴.

所以滿足條件的所有.

（3）由題意得，關于x的方程有三個不相等的實數根

有三個不相等的實數根；

即與有三個不同的交點；

①當時，由（1）知，在R上是增函數，

則關于x的方程不可能有三個不等的實數根；

②當時，由.

當時，∵，

∴對稱軸，

則在為增函數；

此時的值域為，

當時，對稱軸，

∵，∴，

∴對稱軸，

則在為增函數，此時的值域為，

在為減函數，此時的值域為；

綜上所述，若存在，使與有三個不同的交點，

則，

即存在，使得即可，

令，

只要使即可，而在上是增函數，

.

故可得.