Question

已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，它的一個頂點B恰好是拋物線的焦點，

離心率等于.直線與橢圓C交于兩點.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

(Ⅱ) 橢圓C的右焦點是否可以為的垂心？若可以,求出直線的方程；

若不可以,請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

解：（1）設C方程為，則b = 1.

∴橢圓C的方程為                 ………………4分

（Ⅱ）假設存在直線,使得點是的垂心.

易知直線的斜率為，從而直線的斜率為1.

設直線的方程為，              ………………6分

代入橢圓方程并整理，可得.

設，則，.

于是

解之得或.                     ………………10分

當時，點即為直線與橢圓的交點，不合題意.

當時，經檢驗知和橢圓相交，符合題意. 

所以，當且僅當直線的方程為時, 點是的垂心

【解析】略