Question

已知函數f（x）=alnx-ax-3（a∈R），函數f（x）的圖象在x=4處的切線的斜率為

3

2

．
（1）求a值及函數f（x）的單調區間；
（2）若函數g（x）=

1

3

x3+x2[f′(x)+

m

2

]在區間（1，3）上不是單調函數（其中f′（x）是f（x）的導函數），求實數m的取值范圍．

Answer 1

（1）f（x）的定義域為（0，+∞），…（1分）
 f'（x）=

a(1-x)

x

   …（2分）
由 f'（4）=-

3a

4

=

3

2

 得a=-2   …（4分）
所以f'（x）=

2x-2

x

（x＞0）
由f'（x）＞0，得x＞1；f'（x）＜0，得0＜x＜1
所以f（x）的單增區間為（1，+∞），單減區間為（0，1]…（6分）
當a=-2時，若x∈（1，+∞），則f′（x）＞0；若x∈（0，1），則f′（x）＜0，
∴當a=-2時，f（x）的單調遞增區間為[1，+∞），單調遞減區間為（0，1]；
（2）g（x）=

1

3

x3+(

m

2

+2)x2-2x                    …（7分）
g'（x）=x²+（m+4）x-2                  …（8分）
因為g（x）在（1，3）不單調，且g'（0）=-2   …（9分）
所以 

g′(1)＜0 g′(3)＞0

         …（11分）
即 

m＜-3 m＞- 19 3

         …（12分）
所以m∈（-

19

3

，-3）．