Question

設函數f（x）的定義域為D，若存在非零實數l使得對于任意x∈M（M⊆D），有x+l∈D，且f（x+l）≥f（x），則稱f（x）為M上的l的高調函數，如果定義域是[-1，+∞）的函數f（x）=x²為[-1，+∞）上的m高調函數，那么實數m的取值范圍是

m≥2

，如果定義域為R的函數f（x）是奇函數，當x≥0時，f（x）=|x-a²|-a²，且f（x）為R上的8高調函數，那么實數a的取值范圍是

-2≤a≤2．

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Answer 1

分析：由題意可知，（1）當x≥-1時，x+m≥m-1≥-1，于是有m≥0，而m≠0，從而m＞0．由f（x+l）≥f（x）即可求得m的范圍；（2）依題意可知，|x+8-a²|-a²≥|x-a²|-a²，進一步整理可得a²≤x+4，（x≥0），結合恒成立問題可求得實數a的取值范圍，當x≤0時，-x≥0，同理可求a²≤（4-x）_min=4；從而可得答案．

解答：解：（1）∵定義域是[-1，+∞）的函數f（x）=x²為[-1，+∞）上的m高調函數，
∴當x≥-1時，x+m≥m-1≥-1，
∴m≥0，而m≠0，
∴m＞0．
又函數f（x）=x²為[-1，+∞）上的m高調函數，
∴f（x+m）≥f（x），即（x+m）²≥x²，
∴2mx+m²≥0，又m＞0，
∴m≥-2x（x≥-1）恒成立，
∴m≥（-2x）_max，由x≥-1可得-x≤1，-2x≤2，
∴（-2x）_max=2，
∴m≥2．
故答案為：m≥2．
（2）∵當x≥0時，f（x）=|x-a²|-a²，且f（x）為R上的8高調函數，
∴f（x+8）≥f（x），
∴|x+8-a²|-a²≥|x-a²|-a²，
∴|x+8-a²|≥|x-a²|，即[（x-a²）+8]²≥（x-a²）²，
∴16（x-a²）+64≥0，
∴a²≤x+4，
∴a²≤（x+4）_min=4；
當x≤0時，-x≥0，同理可求，a²≤（4-x）_min=4；
∴-2≤a≤2．
故答案為：-2≤a≤2．

點評：本題考查帶絕對值的函數，著重考查函數恒成立問題，理解題意，合理轉化是解決問題的關鍵，考查分析，轉化與運算能力，屬于難題．