Question

已知函數f（x）=alnx-x²，x=1是f（x）的一個極值點．
（1）求a的值；
（2）若方程f（x）+m=0在[

1

e

，e]內有兩個不等實根，求m的取值范圍（其中e為自然對數的底數）；
（3）令g（x）=f（x）+3x，若g（x）的圖象與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0）（其中x₁＜x₂），求證：

5

2

＜x₂-x₁＜

7

2

．（參考數據：ln2≈0.7  e≈2.7）

Answer 1

分析：（1）求導函數，利用x=1是f（x）的一個極值點，得到f′（1）=0，從而可求a的值；
（2）先要利用導數研究好函數h（x）=f（x）+m=2lnx-x²+m，的單調性，
結合單調性及在[

1

e

，e]內有兩個不等實根通過數形結合易知m滿足的關系從而問題獲得解答；
（3）將零點問題轉化為函數圖象交點問題，借助于圖象來解決．

解答：解：（1）求導函數可得f′（x）=

a

x

-2x=-

2x2-a

x

（x＞0）
∵x=1是f（x）的一個極值點．
∴f′（1）=0，可得a=2．
（2）f（x）=2lnx-x²，令h（x）=f（x）+m=2lnx-x²+m，
則h′（x）=

2

x

-2x=-

2

x

(x-1)(x+1)，
令h′（x）=0，得x=1（x=-1舍去）．
由于x∈[

1

e

，e]，
則當x∈[

1

e

，1]時，h′（x）＞0，∴h（x）是增函數；
當x∈[1，e]時，h′（x）＜0，∴h（x）是減函數，
則方程h（x）=0在[

1

e

，e]內有兩個不等實根的充要條件是：

h( 1 e )≤0    h(1)＞0   h(e) ≤ 0．

即1＜m≤2+

1

e2

．
（3）若g（x）的圖象與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0）（其中x₁＜x₂），
則方程2lnx-x²+3x=0的解為x₁，x₂（其中x₁＜x₂）．
故函數y=2lnx與y=x²-3x的交點的橫坐標為x₁，x₂，
作出兩函數圖象如圖．如圖所示，
由于2ln

1

2

=-2ln2≈-1.4，(

1

2

)2-3×

1

2

=-

5

4

=-1.25，所以

1

2

＜x1＜1，
同理得到

7

2

＜x2＜4，

故-1＜-x1＜-

1

2

，所以

5

2

＜x₂-x₁＜

7

2

．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與最值、函數的零點與方程根的關系，正確求導是關鍵，屬于中檔題．