Question

對正整數n，設曲線y=xⁿ（1-x）在x=2處的切線與y軸交點的縱坐標為a_n，則數列的前n項和的公式是     ．

Answer 1

【答案】分析：欲求數列的前n項和，必須求出在點（1，1）處的切線方程，須求出其斜率的值即可，故先利用導數求出在x=2處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率即得直線方程進而得到切線與y軸交點的縱坐標．最后利用等比數列的求和公式計算，從而問題解決．
解答：解：y'=nx^n-1-（n+1）xⁿ，
曲線y=xⁿ（1-x）在x=2處的切線的斜率為k=n2^n-1-（n+1）2ⁿ
切點為（2，-2ⁿ），
所以切線方程為y+2ⁿ=k（x-2），
令x=0得a_n=（n+1）2ⁿ，
令b_n=．
數列的前n項和為2+2²+2³++2ⁿ=2ⁿ⁺¹-2．
故答案為：2ⁿ⁺¹-2．
點評：本題考查應用導數求曲線切線的斜率，數列通項公式以及等比數列的前n項和的公式．解后反思：應用導數求曲線切線的斜率時，要首先判定所經過的點為切點．否則容易出錯．