Question

對(duì)于函數(shù)f（x），若存在x₀∈R，使f（x₀）=x₀成立，則稱(chēng)x₀為函數(shù)f（x）的不動(dòng)點(diǎn)．已知f（x）=x²+bx+c
（1）當(dāng)b=2，c=-6時(shí)，求函數(shù)f（x）的不動(dòng)點(diǎn)；
（2）已知f（x）有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)為，求函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)；
（3）在（2）的條件下，求不等式f（x）＞0的解集．

Answer 1

解：（1）f（x）=x²+2x-6，
由f（x）=x
∴x²+x-6=0
∴（x-2）（x+3）=0
∴x=2或x=-3
∴f（x）的不動(dòng)點(diǎn)為2或-3
（2）∵f（x）有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，即f（x）=x有兩個(gè)根
∴x²+（b-1）x+c=0
∵，
∴b=1，c=-2
∴f（x）=x²+x-2
令f（x）=0
即（x+2）（x-1）=0
解得x=-2或x=1
∴f（x）的零點(diǎn)為x=1或x=-2
（3）f（x）＞0
∴（x+2）（x-1）＞0
∴x＞1或x＜-2
∴f（x）＞0的解集為（-∞，-2）∪（1，+∞）
分析：（1）設(shè)x為不動(dòng)點(diǎn)，則有f（x）=x，變形為x²+x-6=0，解方程即可．
（2）根據(jù)題中條件：“f（x）有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)f（x）=x有兩個(gè)根”得x²+（b-1）x+c=0利用根與系數(shù)的關(guān)系得出b，c的值，最后解方程f（x）=0即可得出f（x）的零點(diǎn)．
（3）由題意得f（x）＞0即（x+2）（x-1）＞0，解之即可．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的性質(zhì)，方程的解法，方程根的情況以及函數(shù)的零點(diǎn)．其中根據(jù)已知中的新定義，構(gòu)造滿足條件的方程是解答本題的關(guān)鍵．