Question

已知函數f（x）=

x

x+1

，x∈[2，4]．
（1）判斷f（x）的單調性，并利用單調性的定義證明：
（2）求f（x）在[2，4]上的最值．

Answer 1

分析：（1）任取x₁，x₂∈[2，4]，且x₁＜x₂，利用作差可比較f（x₁）與f（x₂）的大小，根據函數單調性的定義可作出判斷；
（2）由（1）可知函數f（x）區間[2，4]上單調遞增，由單調性即可求得函數的最值；

解答：解：（1）函數f（x）在區間[2，4]上單調遞增．
任取x₁，x₂∈[2，4]，且x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=

x1

x1+1

-

x2

x2+1

=

x1-x2

(x1+1)(x2+1)

，
∵2≤x₁＜x₂≤4，∴x₁-x₂＜0，x₁+1＞0，x₂+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴由單調性的定義知，函數f（x）區間[2，4]上單調遞增．
（2）由（1）知，函數f（x）區間[2，4]上單調遞增，
∴[f（x）]_min=f（2），[f（x）]_max=f（4），
∵f(2)=

2

2+1

=

2

3

，f(4)=

4

4+1

=

4

5

，
∴[f(x)]min=

2

3

，[f(x)]max=

4

5

．

點評：本題考查函數單調性的判斷及其應用，考查函數最值的求解，屬基礎題，定義是證明函數單調性的基本方法，要熟練掌握．