Question

（2012•長春一模）已知函數f（x）=e^x-ax-1（a＞0，e為自然對數的底數）．
（1）求函數f（x）的最小值；
（2）若f（x）≥0對任意的x∈R恒成立，求實數a的值；
（3）在（2）的條件下，證明：(

1

n

)n+(

2

n

)n+…+(

n-1

n

)n+(

n

n

)n＜

e

e-1

(其中n∈N*)．

Answer 1

分析：（1）求導函數，確定函數的單調性，從而可得f（x）在x=lna處取得極小值，且為最小值；
（2）f（x）≥0對任意的x∈R恒成立，即在x∈R上，f（x）_min≥0．由（1），構造函數g（a）=a-alna-1，所以g（a）≥0，確定函數的單調性，即可求得實數a的值；
（3）由（2）知，對任意實數x均有e^x-x-1≥0，即1+x≤e^x，令x=-

k

n

（n∈N^*，k=0，1，2，3，…，n-1），可得0＜1-

k

n

≤e-

k

n

，從而有(1-

k

n

)n≤(e-

k

n

)n=e-k，由此即可證得結論．

解答：（1）解：由題意a＞0，f′（x）=e^x-a，
由f′（x）=e^x-a=0得x=lna．
當x∈（-∞，lna）時，f′（x）＜0；當x∈（lna，+∞）時，f′（x）＞0．
∴f（x）在（-∞，lna）單調遞減，在（lna，+∞）單調遞增．
即f（x）在x=lna處取得極小值，且為最小值，其最小值為f（lna）=e^lna-alna-1=a-alna-1．（5分）
（2）解：f（x）≥0對任意的x∈R恒成立，即在x∈R上，f（x）_min≥0．
由（1），設g（a）=a-alna-1，所以g（a）≥0．
由g′（a）=1-lna-1=-lna=0得a=1．
∴g（a）在區間（0，1）上單調遞增，在區間（1，+∞）上單調遞減，
∴g（a）在a=1處取得最大值，而g（1）=0．
因此g（a）≥0的解為a=1，∴a=1．（9分）
（3）證明：由（2）知，對任意實數x均有e^x-x-1≥0，即1+x≤e^x．
令x=-

k

n

（n∈N^*，k=0，1，2，3，…，n-1），則0＜1-

k

n

≤e-

k

n

．
∴(1-

k

n

)n≤(e-

k

n

)n=e-k．
∴(

1

n

)n+(

2

n

)n+…+(

n-1

n

)n+(

n

n

)n≤e-(n-1)+e-(n-2)+…+e-2+e-1+1
=

1-e-n

1-e-1

＜

1

1-e-1

=

e

e-1

．（14分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與最值，考查恒成立問題，同時考查不等式的證明，解題的關鍵是正確求導數，確定函數的單調性．