Question

（2012•寶雞模擬）設△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知向量

m

=(a，-c)，

n

=(cosA，cosB)，

p

=(a，b)，

q

=(cos(B+C)，cosC)，

m

•

n

=

p

•

q

，a=

13

，c=4．
（1）求cosA的值；
（2）求邊b的長．

Answer 1

分析：（1）由四個向量的坐標及

m

•

n

=

p

•

q

，利用平面向量的數量積運算法則列出關系式，利用誘導公式化簡整理后，再利用正弦定理及兩角和與差的正弦函數公式化簡，根據sinA不為0，可得出cosA的值；
（2）由余弦定理表示出a²=b²+c²-2bccosA，將a，c及cosA的值代入可得出關于b的方程，求出方程的解即可得到b的值．

解答：解：（1）∵向量

m

=(a，-c)，

n

=(cosA，cosB)，

p

=(a，b)，

q

=(cos(B+C)，cosC)，

m

•

n

=

p

•

q

，
∴acosA-ccosB=acos（B+C）+bcosC=-acosA+bcosC，即2acosA=ccosB+bcosC，
由正弦定理得：2sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，∴cosA=

1

2

；
（2）由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，又a=

21

，c=4，cosA=

1

2

，
∴（

21

）²=b²+4²-2b×4×

1

2

，即b²-4b-5=0，
解得：b=5或b=-1（舍去），
則邊b的長為5．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，平面向量的數量積運算，誘導公式，以及兩角和與差的正弦函數公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．