Question

設A（1，0，0），B（1，0，1），C（0，1，1）D（1，1，1），求直線AD與平面ABC所成的角．

Answer 1

分析：設平面ABC的法向量為

n

=(x，y，z)，利用線面垂直即可得出．設直線AD與平面ABC所成的角為θ，利用sinθ=|cos＜

n

，

AD

＞|=

| n • AD |

| n | | AD |

即可求出．

解答：解：∵A（1，0，0），B（1，0，1），C（0，1，1），∴

AB

=(0，0，1)，

AC

=(-1，1，1)．
設平面ABC的法向量為

n

=(x，y，z)，則

n • AB =0 n • AC =0

，即

z=0 -x+y+z=0

，
不妨令x=1，則y=1，z=0，∴

n

=(1，1，0)．
又

AD

=（0，1，1），
設直線AD與平面ABC所成的角為θ，
則sinθ=|cos＜

n

，

AD

＞|=

| n • AD |

| n | | AD |

=

1

2 × 2

=

1

2

．
∵θ∈[0，

π

2

]，∴θ=

π

6

．
因此直線AD與平面ABC所成的角為

π

6

．

點評：熟練掌握線面垂直的性質、垂直與數量積的關系、公式sinθ=|cos＜

n

，

AD

＞|=

| n • AD |

| n | | AD |

求線面角是解題的關鍵．