Question

設(shè)f(k)是滿足不等式log₂x＋log₂(3×2^k－1－x)≥2k－1(k∈N₊)的自然數(shù)x的個(gè)數(shù)．

(1)求f(k)的解析式；

(2)記S_n＝f(1)＋f(2)＋…＋f(n)，求S_n的解析式；

(3)令P_n＝n²＋n－1(n∈N₊)，試比較S_n與P_n的大小．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由已知不等式可得 　　 　　2k－1≤x≤2k，從而f(k)＝2k－2k－1＋1＝2k－1＋1． 　　(2)Sn＝f(1)＋f(2)＋…＋f(n) 　　＝20＋21＋…＋2n－1＋n 　　＝2n＋n－1． 　　(3)Sn－Pn＝2n－n2． 　　當(dāng)n＝1時(shí)，21－12＞0；當(dāng)n＝2時(shí)，22－22＝0； 　　當(dāng)n＝3時(shí)，23－32＜0；當(dāng)n＝4時(shí)，24－42＝0； 　　當(dāng)n＝5時(shí)，25－52＞0；當(dāng)n＝6時(shí)，26－62＞0． 　　猜想：當(dāng)n≥5時(shí)，Sn＞Pn． 　　下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： 　　①當(dāng)n＝5時(shí)，Sn＞Pn，上面已證； 　　②假設(shè)n＝k時(shí)，Sk＞Pk，即2k＞k2， 　　則n＝k＋1時(shí)， 　　∵Sk－Pk+1＝2k+1－(k－1)2＞2k2－(k＋1)2＝(k－1)2－2， 　　當(dāng)k≥5時(shí)，(k－1)2－2＞0，∴Sk+1＞Pk+1． 　　故當(dāng)n≥5時(shí)，總有Sn＞Pn成立． 　　綜上可知：當(dāng)n＝1或n≥5時(shí)，有Sn＞Pn； 　　當(dāng)n＝2或n＝4時(shí)，Sn＝Pn； 　　當(dāng)n＝3時(shí)，Sn＜Pn．