Question

【題目】在平面直角坐標系中，點，若在曲線上存在點使得，則實數的取值范圍為__________

Answer 1

【答案】

【解析】

根據題意，設P（x，y），分析可得若|PB|＝2|PA|，則有（x﹣4）2+y2＝4（x﹣1）2+4y2，變形可得x2+y2＝4，進而可得P的軌跡為以O為圓心，半徑為2的圓；將曲線C的方程變形為（x﹣a）2+（y﹣2a）2＝9，可得以（a，2a）為圓心，半徑為3的圓；據此分析可得若曲線C上存在點P使得|PB|＝2|PA|，則圓C與圓x2+y2＝4有公共點，由圓與圓的位置關系可得3﹣22+3，解可得a的取值范圍，即可得答案．

根據題意，設P（x，y），

若|PB|＝2|PA|，即|PB|2＝4|PA|2，則有（x﹣4）2+y2＝4（x﹣1）2+4y2，

變形可得：x2+y2＝4，

即P的軌跡為以O為圓心，半徑為2的圓，

曲線Cx2﹣2ax+y2﹣4ay+5a2﹣9＝0，即（x﹣a）2+（y﹣2a）2＝9，則曲線C是以（a，2a）為圓心，半徑為3的圓；

若曲線C上存在點P使得|PB|＝2|PA|，則圓C與圓x2+y2＝4有公共點，

則有3﹣22+3，即1|a|≤5，

解可得：a或a，

即a的取值范圍為：[，]∪[，]；

故答案為：[，]∪[，]．