Question

已知幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖和側視圖都是腰長為的等腰直角三角形，正視圖為直角梯形．

（1）若幾何體的體積為，求實數的值；

（2）若，求異面直線與所成角的余弦值；

（3）是否存在實數，使得二面角的平面角是，若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．

 

 

 

Answer 1

【答案】

：（1）體積；

（2）異面直線與所成角的余弦值為。……4分

（3）不存在實數，使得二面角的平面角是。

【解析】（1）由該幾何體的三視圖知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=1，則體積可以求得．

（2）求異面直線所成的角，一般有兩種方法，一種是幾何法，其基本解題思路是“異面化共面，認定再計算”，即利用平移法和補形法將兩條異面直線轉化到同一個三角形中，結合余弦定理來求．還有一種方法是向量法，即建立空間直角坐標系，利用向量的代數法和幾何法求解．

（3）假設存在這樣的點Q，使得AQ⊥BQ．

解法一：通過假設的推斷、計算可知以O為圓心、以BC為直徑的圓與DE相切．

解法二：在含有直線與平面垂直垂直的條件的棱柱、棱錐、棱臺中，也可以建立空間直角坐標系，設定參量求解．這種解法的好處就是：1、解題過程中較少用到空間幾何中判定線線、面面、線面相對位置的有關定理，因為這些可以用向量方法來解決．2、即使立體感稍差一些的學生也可以順利解出，因為只需畫個草圖以建立坐標系和觀察有關點的位置即可

（1）體積；   ……3分

（2） 法一：過點作交于，連接，則或其補角即為異面直線與所成角，在中，，，

；

即異面直線與所成角的余弦值為。……4分

法二: 以為原點，以、、所在直線為、、軸建立空間直角坐標系（圖略），則，，，，得，，，又異面直線與所成角為銳角，可得異面直線與所成角的余弦值為。          ……4分

（3）平面的法向量，      ……1分

平面的法向量，，，……1分

由，可得，。…3分

此時，與正視圖為直角梯形條件不符，所以舍去，

因此不存在實數，使得二面角的平面角是