Question

（2012•長春模擬）在△ABC中，∠BAC=120°，|

AB

|=2，|

AC

|=1，點P滿足

BP

=λ

BC

（0≤λ≤1），則

BP

2-

AP

•

BC

的取值范圍是（　　）

• A．[

  1

  4

  ，3]
• B．[

  1

  2

  ，5]
• C．[-2，

  15

  4

  ]
• D．[

  13

  4

  ，5]

Answer 1

分析：由余弦定理得，BC²=AB²+AC²-2AB•ACcos∠BAC可求BC，然后由正弦定理得，

AC

sinB

=

BC

sinA

可求sinB，然后可求cosB，而

BP

2-

AP

•

BC

利用向量的數量積可轉化為關于λ的二次函數，結合二次函數在閉區間上的最值即可求解

解答：解：在△ABC中，∠BAC=120°中，
根據余弦定理得，BC²=AB²+AC²-2AB•ACcos∠BAC
=

4+1-2×2×1cos120°

=

7

根據正弦定理得，

AC

sinB

=

BC

sinA

∴

1

sinB

=

7

sin120°

∴sinB=

3

2 7

∴cosB=

5

2 7

從而有

BP

2-

AP

•

BC

=(λ

BC

)2+(

AB

+λ

BC

)•

BC

=7λ2-2×

7

×(-

5

2 7

)-7λ
=7(λ-

1

2

)2+

13

4

又0≤λ≤1，所以

BP

2-

AP

•

BC

的取值范圍是[

13

4

，5]
故選D

點評：本題主要考查了正弦定理、余弦定理在求解三角形中的應用，向量的數量積的應用及二次函數的性質的靈活應用是求解的關鍵