Question

已知等差數列{a_n}的公差為d，關于x的不等式dx²+2a₁x≥0的解集為[0，9]，則使數列{a_n}的前n項和S_n取最大值的正整數n的值是

5

．

Answer 1

分析：由題意易得d＜0，a_n=（n-

11

2

）d，令（n-

11

2

）d≤0，可得等差數列{a_n}的前5項為正，從第6項開始為負，從而可得答案．

解答：解：因為關于x的不等式dx²+2a₁x≥0的解集為[0，9]，
所以d＜0，且81d+18a₁=0，解得a₁=-

9

2

d，
故a_n=a₁+（n-1）d=（n-

11

2

）d，
令（n-

11

2

）d≤0，（注意d＜0），解得n≥

11

2

，
即等差數列{a_n}的前5項為正，從第6項開始為負，
故數列{a_n}的前5項和S₅取最大，
故答案為：5

點評：本題考查等差數列的前n項和的最值問題，涉及一元二次不等式的解集，屬基礎題．