Question

定義在R上的單調函數(shù)f(x)滿足f(3)＝log₂3且對任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y).

(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性，并證明；

(2)若f(k·3^x)＋f(3^x－9^x－2)＜0對任意x∈R恒成立，求實數(shù)k的取值范圍.

Answer 1

(1)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，

∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)(x，y∈R)，①

令x＝y(tǒng)＝0，代入①式，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，

即f(0)＝0.

令y＝－x，代入①式，得f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，

又f(0)＝0，

則有0＝f(x)＋f(－x)，即f(－x)＝－f(x)對任意x∈R成立.

∴f(x)是奇函數(shù).

(2)f(3)＝log₂3＞0，即f(3)＞f(0)，

又f(x)在R上是單調函數(shù)，

∴f(x)在R上是增函數(shù)，又由(1)，f(x)是奇函數(shù)，可知f(k·3^x)＜－f(3^x－9^x－2)＝f(9^x－3^x＋2)，

∴k·3^x＜9^x－3^x＋2對任意x∈R恒成立，

∴k＜3^x＋－1對任意x∈R恒成立，

而3^x＋≥2(當且僅當3^x＝時等號成立)，

∴k＜2－1，

綜上所述k＜2－1時f(k·3^x)＋f(3^x－9^x－2)＜0對任意x∈R恒成立.