Question

已知圓C₁的方程為x²+y²-4x+2my+2m²-2m+1=0．
（1）求實數m的取值范圍；
（2）求當圓的面積最大時圓C₁的標準方程；
（3）求（2）中求得的圓C₁關于直線l：x-y+1=0對稱的圓C₂的方程．

Answer 1

分析：（1）由題意得，D²+E²-4F=16+4m²-4（2m²-2m+1）＞0，解此一元二次不等式求的實數m的取值范圍．
（2）圓的面積最大，即圓的半徑最大，根據圓的半徑r=

-(m-1)2+4

可得當m=1時圓的半徑最大，且為2，由此求得圓C₁的方程．
（3）由（2）可得圓C₁的圓心坐標為（2，-1）、半徑等于2，設圓C₂的坐標為（a，b），利用了垂直、和中點在對稱軸上這兩個條件，求出a、b的值，即可求得圓C₂的方程．

解答：解：（1）由題意，得：D²+E²-4F=16+4m²-4（2m²-2m+1）＞0，
即m²-2m-3＜0，∴（m-3）（m+1）＜0，∴-1＜m＜3，
故所求實數m的范圍是-1＜m＜3．
（2）圓的面積最大，即圓的半徑最大．
圓的半徑r=

1

2

D2+E2-4F

=

1

2

-4m2+8m+12

=

-m2+2m+3

，
∴r=

-(m-1)2+4

，因此當m=1時圓的半徑最大，且為2，
所以圓C₁的方程為x²+y²-4x+2y+1=0，標準方程為（x-2）²+（y+1）²=4．
（3）由（2）可得圓C₁的圓心坐標為（2，-1）、半徑等于2，設圓C₂的坐標為（a，b），
則C₁C₂的中點為（

a+2

2

，

b-1

2

），且C₁C₂的斜率為 k=

b+1

a-2

．
由題意可得，直線l垂直平分線段C₁C₂，∴

a+2 2 -  b-1 2 +1 =0 b+1 a-2 =-1

，解得

a=-2 b=3

．
故所求的圓C₂的方程為 （x+2）²+（y-3）²=4．

點評：本題主要考查求一個點關于某直線的對稱點的坐標的方法，求圓的標準方程的方法，屬于中檔題．