Question

已知兩點(diǎn)，，滿(mǎn)足條件|PF₂|-|PF₁|=2的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是曲線E，直線 l：y=kx-1與曲線E交于A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求k的取值范圍；
（Ⅱ）如果，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先根據(jù)雙曲線的定義求出曲線E的方程，再根據(jù)直線 l：y=kx-1與曲線E交于A、B兩點(diǎn)，把y=kx-1代入曲線E的方程，△＞0，x1+x2＜0，x1x2＞0，求出k的范圍．
（Ⅱ）利用弦長(zhǎng)公式，用含k的式子表示|AB|長(zhǎng)，再根據(jù)，就可求出k值，得到直線l的方程．
解答：解：（Ⅰ）由雙曲線的定義可知，
曲線E是以為焦點(diǎn)的雙曲線的左支           
且，易知b=1．
故曲線E的方程為x²-y²=1（x＜0）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由題意建立方程組
消去y，得（1-k²）x²+2kx-2=0
又已知直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn)A，B，則解得．
即k的取值范圍是．（6分）
（Ⅱ）∵
=
=
=（8分）
依題意得，
整理后得28k⁴-55k²+25=0，解得或
又，∴，
故直線AB的方程為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與雙曲線相交的判斷，以及弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，做題時(shí)要認(rèn)真分析，用對(duì)公式．